W tym artykule zagłębimy się w ekscytujący świat Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, badając jego pochodzenie, dzisiejsze znaczenie i wpływ na różne obszary społeczeństwa. Dzięki podejściu multidyscyplinarnemu zbadamy różne aspekty Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, od jego wpływu na kulturę popularną po zastosowanie w nauce i technologii. Zanurzymy się w jego historię, przeanalizujemy jej implikacje w teraźniejszości i dostrzeżemy możliwe perspektywy na przyszłość, jakie oferuje. Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa to temat, który budzi zainteresowanie zarówno ekspertów, jak i fanów, dlatego w tym artykule staramy się zagłębić w jego złożoność, różnorodność i znaczenie dla lepszego zrozumienia otaczającego nas świata.
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego
Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.
Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą a i będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:
Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni
Niech oznacza rzut na płaszczyznę oraz dla niech
Podzielmy powierzchnię na trzy takie części że:
przy czym oznacza brzeg obszaru
Dla trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla wektor normalny ma postać
Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi Analogicznie dla powierzchni wektor normalny wynosi
Weźmy składową pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:
Dowody dla składowych i są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.
Niech będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości otoczonej powierzchnią Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać:
gdzie jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni na powierzchni a jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze
Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.