Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych – każdy z nich ma miarę ${\displaystyle {\tfrac {180^{\circ }\cdot (17-2)}{17}}\approx 158{,}82^{\circ }.}$

Konstruowalność

Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później – składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne.

Konstrukcja Richmonda

Jedną z elegantszych konstrukcji jest konstrukcja podana przez Herberta Williama Richmonda w 1893 roku:

1. Narysuj duży okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle O.}$
2. Narysuj średnicę ${\displaystyle UV.}$
3. Skonstruuj symetralną tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie ${\displaystyle A.}$
4. Znajdź na odcinku ${\displaystyle OA}$ taki punkt ${\displaystyle B,}$ by długość ${\displaystyle OB}$ była równa ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ długości ${\displaystyle OA}$ (dwukrotnie znajdując środek).
5. Narysuj odcinek ${\displaystyle BV.}$
6. Znajdź na odcinku ${\displaystyle OV}$ taki punkt ${\displaystyle C,}$ by kąt ${\displaystyle \angle OBC}$ był równy ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ kąta ${\displaystyle \angle OBV}$ (dwukrotnie konstruując dwusieczną).
7. Znajdź na odcinku ${\displaystyle UO}$ taki punkt ${\displaystyle D,}$ by kąt ${\displaystyle \angle DBC}$ był równy połowie kąta prostego (miał miarę 45°).
8. Narysuj okrąg oparty na średnicy ${\displaystyle DV.}$ Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem ${\displaystyle OA}$ oznacz ${\displaystyle E.}$
9. Narysuj okrąg o środku ${\displaystyle C}$ i promieniu ${\displaystyle CE.}$ Niech ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G}$ będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą ${\displaystyle UV.}$
10. Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy ${\displaystyle UV}$ w punktach ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G.}$ Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz ${\displaystyle V_{3}}$ i ${\displaystyle V_{5}.}$
11. Punkty ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V_{3}}$ i ${\displaystyle V_{5}}$ są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek ${\displaystyle V_{4}}$ poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta ${\displaystyle \angle V_{3}OV_{5},}$ a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka ${\displaystyle V_{3}V_{4}.}$

Okręgi Carlyle’a

Inną znaną metodą konstrukcji siedemnastokąta foremnego jest algorytm wykorzystujący okręgi Carlyle’a:

1. Narysuj okrąg o środku ${\displaystyle O.}$
2. Przez punkt ${\displaystyle O}$ poprowadź poziomą prostą ${\displaystyle k,}$ punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz ${\displaystyle Q}$ i ${\displaystyle P}$ (po lewej i prawej stronie punktu ${\displaystyle O}$ odpowiednio).
3. Narysuj symetralną ${\displaystyle l}$ średnicy ${\displaystyle QP,}$ punkt jej przecięcia z okręgiem (znajdujący się ponad prostą ${\displaystyle k}$) oznacz ${\displaystyle R.}$
4. Narysuj symetralną ${\displaystyle m}$ promienia ${\displaystyle QO,}$ jego środek oznacz ${\displaystyle S.}$
5. Zakreśl łuk o środku ${\displaystyle S}$ przechodzący przez ${\displaystyle P,}$ jego przecięcie z prostą ${\displaystyle m}$ (poniżej prostej ${\displaystyle k}$) oznacz ${\displaystyle T.}$
6. Narysuj okrąg o środku ${\displaystyle T}$ przechodzący przez punkt ${\displaystyle R,}$ punkty jego przecięcia z prostą ${\displaystyle k}$ oznacz ${\displaystyle A_{1}}$ i ${\displaystyle A_{0}}$ (po lewej i prawej stronie prostej ${\displaystyle l}$ odpowiednio).
7. Znajdź środki odcinków ${\displaystyle OA_{0}}$ i ${\displaystyle OA_{1}}$ i oznacz je odpowiednio ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V.}$
8. Zakreśl łuk o środku ${\displaystyle U}$ przechodzący przez ${\displaystyle R,}$ punkt jego przecięcia z prostą ${\displaystyle k}$ (po prawej stronie prostej ${\displaystyle l}$) oznacz ${\displaystyle B_{0}.}$
9. Zakreśl łuk o środku ${\displaystyle V}$ przechodzący przez ${\displaystyle R,}$ punkt jego przecięcia z prostą ${\displaystyle k}$ (po prawej stronie prostej ${\displaystyle l}$) oznacz ${\displaystyle B_{1}.}$
10. Znajdź na prostej ${\displaystyle l}$ taki punkt ${\displaystyle W}$ (powyżej prostej ${\displaystyle k}$), aby ${\displaystyle |OW|=|QB_{1}|.}$
11. Narysuj odcinek ${\displaystyle WB_{0},}$ znajdź jego środek i oznacz go ${\displaystyle X.}$
12. Narysuj okrąg o środku ${\displaystyle X}$ przechodzący przez ${\displaystyle R,}$ punkt jego przecięcia z prostą ${\displaystyle k}$ (położony po prawej stronie punktu ${\displaystyle P}$) oznacz ${\displaystyle C_{0}.}$
13. Narysuj okrąg o środku ${\displaystyle C_{0}}$ i promieniu ${\displaystyle OP,}$ punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{16}.}$
14. Punkty ${\displaystyle P_{16},}$ ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle P_{1}}$ są trzema kolejnymi wierzchołkami siedemnastokąta foremnego – pozostałe wierzchołki znajdujemy poprzez odkładanie odcinka ${\displaystyle PP_{1}}$ na wyjściowym okręgu.

Własności

Konstruowalność równoważna jest faktowi, że funkcje trygonometryczne kąta ${\displaystyle 2\pi /17}$ można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji:

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{17}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.}$

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heptadecagon, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).