Kvadratisk form

En kvadratisk form är ett homogent polynom av andra graden i n variabler. I fallen med en, två och tre variabler kallas de unära, binära respektive ternära och har de explicita formerna

${\displaystyle q(x)=ax^{2}}$

${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz}$

där a, ..., f är koefficienter som kan vara reella eller komplexa tal. Till exempel är inte polynomet ax² + bx + c en kvadratisk form, då det inte är homogent.

Formen kallas definit, om tecknet är detsamma för alla talpar x och y där ett av talen inte är noll. Till exempel är uttrycket ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}}$ positivt definit, om a > 0 och b > 0 eftersom det är positivt för alla värden på x och y förutom då båda är noll. ${\displaystyle ax^{2}}$ för a > 0 är positivt semidefinit eftersom det är positivt eller noll för alla x och y.

Huruvida en kurva är negativt definit respektive positivt definit kan enklast avgöras genom kvadratkomplettering.

Teorin för de kvadratiska formerna, som bland annat sysselsätter sig med frågan hur den kvadratiska formen förhåller sig vid införande av nya variabler, är av grundläggande betydelse för många områden inom matematiken. Teorins systematiska utveckling är väsentligen ett verk av 1800-talets matematiker, främst Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass och Leopold Kronecker.

Den kvadratiska formens matris

En funktion Q definierad på Rⁿ kan beräknas som en kvadratisk form på Rⁿ genom

${\displaystyle Q(\mathrm {x} )=\mathrm {x} ^{T}A\mathrm {x} }$

där A är en symmetrisk n×n matris. Matrisen A kallas matrisen för den kvadratiska formen.

Exempel

Om

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}2&&0\\0&&3\\\end{bmatrix}}}$

blir

${\displaystyle Q(\mathrm {x} )=\mathrm {x} ^{T}A\mathrm {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\quad x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&&0\\0&&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}\quad x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2x_{1}\\3x_{2}\\\end{bmatrix}}=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}}$

Om nollorna i A:s ena diagonal ersätts med nollskilda värden, uppträder korstermer:

${\displaystyle Q(\mathrm {x} )=\mathrm {x} ^{T}A\mathrm {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\quad x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&&4\\5&&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=2x_{1}^{2}+9x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}$

Referenser

• Kvadratisk form i Nordisk familjebok (andra upplagan, 1911)

Noter