Neliömuoto

Neliömuoto (vaihdannaisessa renkaassa) on homogeeninen polynomi, jonka kaikki termit ovat toista astetta, eli niissä on vakiolla kerrottuna joko yhden muuttujan neliö tai kahden muuttujan tulo. Esimerkiksi binomin neliökaava ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$ on kahden muuttujan (${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$) neliömuoto. Yleisemmin ${\displaystyle n}$:n muuttujan neliömuoto on toisen asteen polynomi

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$.

Se voidaan kirjoittaa lyhyemmin matriisitulona ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {Ax} }$ tai pistetulona ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {Ax} \rangle }$, missä ${\displaystyle \mathbf {x} =^{\top }}$ on pystyvektori ja ${\displaystyle \mathbf {A} }$ on neliömatriisi, jonka alkioina ovat kertoimet ${\displaystyle a_{ij}}$. Reaaliluvuilla, ja yleisemminkin kunnassa jonka karakteristika ei ole 2, voidaan matriisi aina valita symmetriseksi, tarvittaessa muunnoksella ${\displaystyle \mathbf {A'} =(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top })/2}$.

Lähteet