În acest articol, ne vom adânci în lumea fascinantă a lui Cuaternion, explorând originile, evoluția și relevanța sa astăzi. De la primele sale rădăcini până la impactul său asupra societății moderne, Cuaternion a jucat un rol semnificativ în diverse domenii, captând atenția oamenilor de toate vârstele și interesele. Printr-o analiză detaliată, vom examina aspectele cheie care au contribuit la popularitatea și relevanța lui Cuaternion, precum și influența acesteia asupra culturii contemporane. Cu o abordare multidisciplinară, vom aborda diferitele aspecte ale Cuaternion, de la importanța sa istorică până la impactul său asupra tehnologiei și inovației, oferind o viziune cuprinzătoare asupra importanței sale în lumea de astăzi.
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
În matematică cuaternionii, notați , sunt numere hipercomplexe necomutative obținute prin extinderea mulțimii numerelor complexe de o manieră similară cu cea care a condus de la numerele reale la cele complexe. Aceste numere au fost introduse de matematicianul irlandez Sir William Rowan Hamilton în 1843 și aplicate în spațiul tridimensional. Deși au fost înlocuiți în majoritatea aplicațiilor de vectori, cuaternionii sunt folosiți în continuare atât în matematica teoretică cât și în cea aplicată, în special pentru calcule ce implică rotații tridimensionale.
În timp ce numerele complexe constituie o extensie a numerelor reale realizată prin introducerea elementului imaginar i, când , cuaternionii sunt o extensie analoagă, realizată prin adăugarea elementelor imaginare i, j și k la numerele reale, când este satisfăcută condiția . Acest lucru se poate rezuma în următorul tabel de înmulțire:
· | 1 | i | j | k |
1 | 1 | i | j | k |
i | i | -1 | k | -j |
j | j | -k | -1 | i |
k | k | j | -i | -1 |
Un cuaternion H poate fi considerat o combinație liniară de patru cuaternioni "unitate", 1, i, j, și k :
(unde a, b, c, d sunt numere reale).
Un cuaternion poate fi exprimat ca element al mulțimii:
Atunci un cuaternion este un număr de forma a + bi + cj + dk, unde a, b, c, d sunt numere reale unic determinate pentru fiecare cuaternion.
Analog, un cuaternion poate fi exprimat ca produs intern (componentă cu componentă) a doi vectori, unul de componente , iar celălalt constituind "baza": . În acest caz, componenta reală este notată separat și pentru produsul scalar se consideră doar cele trei baze i, j, k:
Această reprezentare are câteva avantaje, care pot fi observate în anumite operații precum produsul cuaternionilor.
Cuaternionii pot fi exprimați cu ajutorul unor matrice pătrate de ordinul 2 de numere complexe, sau matrice pătrate de ordinul 4 de numere reale.
Unitățile u, i, j, k, sub formă 2x2 și 4x4 sunt:
În prima formă, cuaternionul a + bi + cj + dk e reprezentat prin
Această reprezentare are câteva proprietăți interesante:
În a doua formă, cuaternionul a + bi + cj + dk e reprezentat prin matricea
În această reprezentare, conjugatul cuaternionului corespunde transpusei matricei.
Cuaternionii nu sunt comutativi, dar sunt asociativi.