W tym artykule zbadamy temat Prawo wzajemności reszt kwadratowych z różnych perspektyw, aby przeanalizować jego wpływ na współczesne społeczeństwo. Od jego powstania do dzisiejszego wpływu, omówimy najważniejsze aspekty związane z Prawo wzajemności reszt kwadratowych. Ponadto zbadamy możliwe implikacje i konsekwencje, jakie Prawo wzajemności reszt kwadratowych może mieć w różnych obszarach, a także przyszłe perspektywy, jakie niesie ze sobą ten temat. Poprzez szczegółową i wyczerpującą analizę postaramy się rzucić światło na Prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego znaczenie we współczesnym świecie.
Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.
Niech i będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że i przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
ma rozwiązanie na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby i przystają do 3 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
nie ma rozwiązania
Korzystając z symbolu Legendre’a,
oba stwierdzenia można zapisać następująco:
Ponieważ jest parzyste jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby i przystają do 3 modulo 4, jest równe 1 jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby i przystają do 3 modulo 4.
Znanych jest co najmniej 246 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.