W tym artykule poruszony zostanie temat Liczby niewymierne, który obecnie budzi duże zainteresowanie i debatę. Liczby niewymierne jest istotnym tematem w dzisiejszym społeczeństwie, ponieważ wpływa na różne obszary codziennego życia. Na przestrzeni dziejów Liczby niewymierne był przedmiotem analiz i refleksji, wywołując sprzeczne opinie i wywołując różnorodne reakcje. W tym sensie kluczowe jest dokładne przeanalizowanie Liczby niewymierne, aby zrozumieć jego wpływ na społeczeństwo i zbadać możliwe rozwiązania lub podejścia do rozwiązania tego problemu. Aby zapewnić wszechstronną i wzbogacającą wizję, w tym artykule zebrano różne perspektywy i argumenty związane z Liczby niewymierne, aby zaoferować globalne i refleksyjne spojrzenie na tę kwestię.
Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych, czasem oznaczane różnicą zbiorów: . Przykłady to:
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych[potrzebny przypis].
Dzieje badań
Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby . Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem[potrzebny przypis]. Potem udowodniono niewymierność innych stałych:
Własności
- Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny.
- Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne i że liczba jest wymierna. Przykłady to:
- O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
- Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: .
- Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
- Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną[potrzebny przypis].
- Jako podprzestrzeń linii prostej zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji [potrzebny przypis].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b c Liczby niewymierne, Encyklopedia PWN .
- ↑ Liczby niewymierne , www.matemaks.pl .
- ↑ a b c d Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Irrational Number, MathWorld, Wolfram Research (ang.). .
- ↑ pi, Encyklopedia PWN .
- ↑ e, Encyklopedia PWN .
- ↑ a b c d MarekM. Kordos MarekM., Intuicjonizm i to, co po nim, pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2017, ISSN 0137-3005 (pol.).
- ↑ Irrational number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, .
- ↑ AndrzejA. Schinzel AndrzejA., Ułamki łańcuchowe, „Delta” (5/1979), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 1979, s. 1-3, ISSN 0137-3005 (pol.).