A Cayley–Hamilton-tétel már régóta érdeklődés és vita tárgya. A társadalomra és a mindennapi életre gyakorolt hatása tagadhatatlan, és relevanciája különböző területekre terjedt ki. Ez a cikk a Cayley–Hamilton-tétel alapos feltárására törekszik, elemezve annak eredetét, fejlődését és lehetséges jövőbeli következményeit. Ezeken az oldalakon a Cayley–Hamilton-tétel-hez kapcsolódó különböző szempontokkal foglalkozunk, a történelmi jelentőségétől a kortárs világra gyakorolt hatásáig. Ezenkívül a Cayley–Hamilton-tétel különböző nézőpontjait elemezzük, bemutatva annak összetettségét és lehetőségét, hogy vitákat és reflexiókat generáljon a különböző területeken. Ennek a cikknek az a célja, hogy teljes és gazdagító képet adjon a Cayley–Hamilton-tétel-ről, és felkéri az olvasót, hogy mélyebben ásson bele ebbe a releváns és jelentős témába.
Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának.
Ha A egy adott n × n-es mátrix és In az n × n-es egységmátrix, akkor A karakterisztikus polinomja a polinom, ahol det a determináns és λ a polinom változója. A Cayley–Hamilton egyenlet azt állítja, hogy ha ebbe az egyenletbe λ helyett A-t írunk, akkor az eredmény a nullmátrix lesz, vagyis .
A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.
Legyen
Akkor A karakterisztikus polinomja
Így
ami egybevág a tétel állításával.
A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.
Valóban, ha a A minimálpolinomja , akkor definíció szerint A kielégíti -et és így ha osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.
Megfordítva, A minimálpolinomja, , osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját karakterisztikus polinomjának, akkor szükségképpen osztója -nek.
Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.