I den här artikeln kommer vi att grundligt utforska betydelsen av Matris i det moderna samhället. Matris är ett ämne som har fångat uppmärksamheten hos både experter och fans, och genererat intensiv debatt och analys inom flera studieområden. Från dess påverkan på ekonomin till dess påverkan på populärkulturen har Matris varit föremål för oändlig forskning och reflektioner. I den här artikeln kommer vi att undersöka hur Matris har format världen idag och vilka konsekvenser det har för framtiden. Dessutom kommer vi att analysera olika perspektiv på Matris, vilket ger en heltäckande och berikande vision av detta ämne som är så relevant idag.
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema av tal eller andra storheter. På en matris kan tre av de fyra grundläggande räknesätten utföras: addition, subtraktion och multiplikation, dock inte division. Därutöver finns vissa räkneoperationer som är specifika för matriser, till exempel transponering. Matriser kan användas för att hålla data som beror på två kategorier och för att hålla ordning på koefficienterna i linjära ekvationssystem och vid linjära transformationer.
De horisontella raderna brukar benämnas rader, medan de vertikala kallas kolumner eller kolonner. En matris med m rader och n kolumner kallas en m×n-matris (m gånger n-matris) och m och n kallas dess dimensioner.
Elementet (ett enskilt värde eller uttryck i matrisen) i en matris A (godtyckliga matriser betecknas normalt A, B och C) i den i:te raden och j:te kolumnen brukar betecknas med ai,j inom matematiken, inom programmering skrivs samma uttryck istället A. Det är vanligt att matriser avgränsas antingen med stora rundade parenteser eller med stora hakparenteser. (Avgränsning med enbart raka streck utan hakar brukar inte användas, för att undvika sammanblandning med determinanter.)
Matrisen
är en 4×3-matris. Elementet a2,3 (matematiskt) eller A (programmering) är 7.
Addition av två matriser förutsätter att matriserna har samma dimensioner.
Om A och B är två m×n-matriser, så definieras C=A+B genom
Exempel:
Helt analogt med additionen gäller att om A och B är två m×n-matriser, så definieras C=A − B genom
Om en matris A och en skalär k är givna, definieras multiplikationen så att om
gäller
Exempel:
Produkten AB av två matriser A och B är endast definierad om antalet kolumner i A är lika med antalet rader i B. Om A är en m×n-matris (m rader, n kolumner) och B en p×q-matris, är produkten AB endast definierad om n = p och produkten BA är endast definierad om q = m.
Om C = AB gäller
Noterbart är att AB är en m×q-matris.
Exempel:
Matrismultiplikation har egenskaperna
Kommutativitet gäller inte i det allmänna fallet. Om A är en m×n-matris och B en n×m-matris så är uppenbarligen inte AB = BA eftersom AB har dimensionen m×m och BA är av dimension n×n. Även om både A och B är av dimension m×m gäller AB = BA endast i speciella fall.
Två matriser A och B säges vara antikommutativa om AB = −BA. Sådana matriser är viktiga i representationer av Liealgebror och Cliffordalgebror.
Transponering är en operation som bildar en matris genom att rader och kolonner för en given matris byter plats. En m×n-matris A har således en n×m-matris som sitt transponat. Transponatet till en matris betecknas
där
Exempel:
Det gäller även att
En n×n-matris A är inverterbar om det existerar en n×n matris B sådan att
Om detta är fallet är matrisen B entydigt bestämd av A och kallas inversen till A och betecknas A-1.
En kvadratisk matris som ej är inverterbar kallas singulär. En matris är singulär om och endast om dess determinant är lika med 0.
Inversen av en inverterbar matris A är också inverterbar med inversen
Inversen av en inverterbar matris A multiplicerad med en nollskild skalär k är en produkt av inverserna av både matrisen och skalären
För en inverterbar matris A är transponatet av inversen lika med inversen av transponatet
Produkten av två inverterbara matriser A och B av samma storlek är inverterbar med inversen
(Observera att A och B har bytt plats.)
Även för vissa icke-kvadratiska matriser, A, kan man antingen finna en matris B sådan att BA = I, eller finna en matris C sådan att AC = I. B' respektive C kallas då vänsterinvers respektive högerinvers. (Om en matris har både en vänsterinvers B och en högerinvers C, så måste B = C och vara invers till A, som av rangskäl därför måste vara kvadratisk.)
Matrisen A är:
Matrisen M är:
|
|