Teorema lui Stewart

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului ceviană dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul P de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

${\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y.\,}$

Demonstrație

Fie P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC se obțin egalitățile:

${\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }\,}$

Înmulțind prima relație cu x, iar a doua cu y  rezultă:

${\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }\,}$

Apoi adunând cele două ecuații:

${\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}$

se obține teorema lui Stewart.

Forma vectorială

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

${\displaystyle {\overrightarrow {AM}}^{2}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}\cdot {\overrightarrow {CM}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CM}}\cdot {\overrightarrow {MB}}=0}$

sau altă formă:

${\displaystyle MA^{2}={\frac {\overrightarrow {MC}}{\overrightarrow {BC}}}\cdot AB^{2}+{\frac {\overrightarrow {MB}}{\overrightarrow {CB}}}\cdot AC^{2}+{\overrightarrow {MB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}.}$

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

${\displaystyle {\frac {PA^{2}}{{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}}+{\frac {PB^{2}}{{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}}}+{\frac {PC^{2}}{{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}}=1.}$

Vezi și

• Teorema lui Apollonius

Legături externe

• en Teorema lui Stewart la PlanetMath Arhivat în 19 decembrie 2009, la Wayback Machine.
• en Demonstrația teoremei la PlanetMath Arhivat în 13 mai 2011, la Wayback Machine.

• en Teorema lui Stewart la Wolfram MathWorld
• en Teorema lui Stewart ca un corolar al Teoremei lui Pitagora