Série de potências

Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro ${\displaystyle x}$, da seguinte forma:

${\displaystyle S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

o número ${\displaystyle x_{0}}$, a sequência ${\displaystyle a_{n}}$ e o parâmetro ${\displaystyle x}$ podem ser em geral números complexos.

A convergência da série de potências depende da distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x_{0}}$ no plano complexo:

${\displaystyle |x-x_{0}|}$

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

História

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.

Newton provou o teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{3}+\ldots \,}$

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função ${\displaystyle \ln(1+x)\,}$.

Série de Taylor

Uma função analítica num ponto ${\displaystyle x_{0}}$ é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto. Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

as derivadas de ${\displaystyle f}$ calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}=a_{1}+2a_{2}(x-x_{0})+3a_{3}(x-x_{0})^{2}+\cdots \\&f''(x)=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}(x-x_{0})^{n-2}=2a_{2}+6a_{3}(x-x_{0})+12a_{4}(x-x_{0})^{2}+\cdots \end{aligned}}}$

Se substituirmos ${\displaystyle x=x_{0}}$ nas séries para ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f'}$ e ${\displaystyle f''}$ vemos que:

${\displaystyle a_{0}=f(x_{0})\qquad a_{1}=f'(x_{0})\qquad 2a_{2}=f''(x_{0})}$

em geral,

${\displaystyle n!a_{n}=f^{(n)}(x_{0})}$

e a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ escreve-se:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

No caso particular ${\displaystyle x_{0}=0}$ obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre ${\displaystyle x_{0}}$ e o ponto singular de ${\displaystyle f}$ mais próximo.

Algumas séries de Maclaurin importantes

• Série geométrica

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$

 para x, em valor absoluto, menor que 1.

• Função exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

• Funções trigonométricas

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&\cos \ x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$

Método das séries

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem

${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$

em que ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle R}$ são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio ${\displaystyle P(x)}$. Se o ponto ${\displaystyle x=0}$ não for raiz de ${\displaystyle P(x)}$, a solução da equação diferencial será uma função analítica em ${\displaystyle x=0}$ e, portanto, existirá a série de Maclaurin para a solução ${\displaystyle y(x)}$:

${\displaystyle y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência ${\displaystyle a_{n}}$. A equação de diferenças que define a sequência ${\displaystyle a_{n}}$ é obtida por substituição da série de Maclaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.

Equação de Airy

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:

${\displaystyle y''=xy}$

O polinômio ${\displaystyle P}$ é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em ${\displaystyle x=0}$ e poderá ser escrita como uma série de Maclaurin:

${\displaystyle y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

A segunda derivada é:

${\displaystyle y''(x)=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$

e substituindo na equação diferencial

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0}$

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice ${\displaystyle n}$, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial

${\displaystyle \sum _{n=-3}^{\infty }(n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1}=0}$

Na primeira série os dois primeiros termos (${\displaystyle n=-3}$ e ${\displaystyle n=-2}$) são nulos e o terceiro termo (${\displaystyle n=-1}$) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde ${\displaystyle n=0}$, podendo ser agrupada à segunda série:

${\displaystyle 2a_{2}+\sum _{n=0}^{\infty }x^{n+1}=0}$

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é ${\displaystyle 2a_{2}}$ e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto ${\displaystyle x}$, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:

${\displaystyle 2a_{2}=0}$

${\displaystyle \color {Blue}{(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n}=0\qquad (n=0,1,2,\ldots )}}$

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como ${\displaystyle a_{2}=0}$, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para ${\displaystyle n=3m}$, definindo ${\displaystyle u_{m}=a_{3m}}$ obtemos:

${\displaystyle \color {Red}{9(m+1)(m+2/3)u_{m+1}-u_{m}=0}}$

em termos de fatoriais e funções gama temos:

${\displaystyle (m+1)(m+2/3)={\frac {(m+1)!\Gamma (m+5/3)}{m!\Gamma (m+2/3)}}}$

Usando a substituição:

${\displaystyle x_{m}=m!\Gamma (m+2/3)u_{m}}$

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

${\displaystyle 9x_{m+1}-x_{m}=0}$

A solução pode agora ser obtida facilmente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{m}&=&{\frac {x_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m}&=&u_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}a_{0}\end{aligned}}}$

Para calcular a sequência correspondente a ${\displaystyle n=3m+1}$, procedemos em forma semelhante. Em função de ${\displaystyle v_{m}=a_{3m+1}}$, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:

${\displaystyle 9(m+1)(m+4/3)v_{m+1}-v_{m}=0}$

e com a substituição

${\displaystyle z_{m}=m!\Gamma (m+4/3)v_{m}}$

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

${\displaystyle 9z_{m+1}-z_{m}=0}$

com solução:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{m}&=&{\frac {z_{0}}{(-9)^{m}}}\\&a_{3m+1}&=&v_{m}={\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)a_{1}}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}\end{aligned}}}$

Finalmente, substituimos ${\displaystyle a_{n}}$ na série de Maclaurin para obter a solução da equação diferencial:

${\displaystyle y(x)=a_{0}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (2/3)}{m!\Gamma (m+2/3)9^{m}}}x^{3m}+a_{1}x\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (4/3)}{m!\Gamma (m+4/3)9^{m}}}x^{3m}}$

onde ${\displaystyle a_{0}}$ e ${\displaystyle a_{1}}$ são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ em ${\displaystyle x=0}$). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de Maclaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Raio de convergência

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge (${\displaystyle a_{0}}$ é o valor da série quando ${\displaystyle x=x_{0}}$); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência (${\displaystyle R}$) e calcula-se a partir de:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}R^{n+1}}{a_{n}R^{n}}}=1\quad \Rightarrow \quad R=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$

Referências

Ligações externas

• Complex Power Series Module by John H. Mathews

• Portal da matemática