Grupo de Cremona

Em matemática, especificamente na geometria algébrica, o grupo Cremona, introduzido por Cremona (1863, 1865), é o grupo dos automorfismos birracionais do espaço projetivo de ordem ${\displaystyle n}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$. Este é denotado por ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} _{k}^{n})}$ ou Bir(Pⁿ(k)) ou Cr_n(k).

O grupo Cremona é identificado naturalmente com o grupo de automorfismos Aut_k(k(x₁, ..., x_n)) do corpo das funções racionais em n variáveis sobre k, ou em outras palavras uma extensão transcendente pura de k, com grau de transcendencia n.

O grupo linear projetivo geral de ordem n+1, de transformações projetivas, está contido no grupo Cremona de ordem n. Os dois grupos são iguais somente quando n=0 or n=1, neste caso tanto o numerador quanto o denominador da transformação devem ser lineares.

O grupo Cremona em 2 dimensões

Em duas dimensões, Max Noether e Castelnuovo mostraram que o grupo Cremona complexo é gerado pela transformação quadrática padrão, junto com PGL(3, k), embora houvesse alguma controvérsia sobre se suas provas estavam corretas, e Gizatullin ( 1983) deu um conjunto completo de relações para esses geradores. A estrutura deste grupo ainda não é bem compreendida, embora tenha havido muito trabalho em encontrar elementos ou subgrupos dele.

• Cantat & Lamy (2010) mostrou que o grupo de Cremona não é simples como um grupo abstrato;
• Blanc mostrou que o grupo não tem subgrupos normais não triviais que também são fechados em uma topologia natural.
• Para os subgrupos finitos do grupo de Cremona, ver Dolgachev & Iskovskikh (2009).

O grupo de Cremona em dimensões maiores

Pouco se sabe sobre a estrutura do grupo de Cremona em três dimensões e dimensões superiores, embora muitos elementos dele tenham sido descritos. Blanc (2010) mostrou que ele é (linearmente) conectado, respondendo a uma questão de Serre (2010). Não há análogo fácil do teorema de Noether-Castelnouvo pois Hudson (1927) mostrou que o grupo Cremona em dimensão pelo menos 3 não é gerado por seus elementos de grau limitados por qualquer inteiro fixo.

Grupos de De Jonquières

Um grupo de De Jonquières é um subgrupo do grupo Cremona da seguinte forma. Escolha a base transcendente x₁, ..., x_n para a extensão do corpo k. Então o grupo de De Jonquières é um subgrupo dos automorfismos de k(x₁, ..., x_n) que mapeia o subcorpo k(x₁, ..., x_r) sobre si mesmo para algum r≤n. Este tem subgrupo normal dado pelo grupo Cremona dos automorfismos k(x₁, ..., x_n) sobre o corpo k(x₁, ..., x_r), e o grupo quociente é o grupo Cremona k(x₁, ..., x_r) sobre o corpo k. Este pode também ser considerado como o grupo dos automorfismo birracionais de um feixe de fibras P^r×P^n–r→P^r.

Quando n=2 e r=1 o grupo de De Jonquières é o grupo de Cremona das transformações que fixam um feixe de linhas através de um dado ponto, e é o produto semidireto de PGL₂(k) e PGL₂(k(t)).

Referências

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• Coolidge, Julian Lowell (1931), A treatise on algebraic plane curves, ISBN 978-0-486-49576-7, Oxford University Press, MR 0120551 
• Cremona, L. (1863), «Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane», Giornale di matematiche di Battaglini, 1: 305–311 
• Cremona, L. (1865), «Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane», Giornale di matematiche di Battaglini, 3: 269–280, 363–376 
• Demazure, Michel (1970), «Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série, ISSN 0012-9593, 3: 507–588, MR 0284446 
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• Dolgachev, Igor V.; Iskovskikh, Vasily A. (2009), «Finite subgroups of the plane Cremona group», Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I, Progr. Math., 269, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 443–548, MR 2641179, doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11 
• Gizatullin, M. Kh. (1983), «Defining relations for the Cremona group of the plane», athematics of the USSR-Izvestiya, ISSN 0373-2436, 21 (2): 211–268, MR 675525, doi:10.1070/IM1983v021n02ABEH001789 
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• Hudson, Hilda Phoebe (1927), Cremona transformations in plane and space, ISBN 978-0-521-35882-8, Cambridge University Press, Reprinted 2012 
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• «Cremona group» (em inglês). - Springer Online Reference Works