Fórmula quadrática

Em álgebra, a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil, é uma fórmula que fornece a solução de uma equação do 2º grau (ou equação quadrática). Existem outras formas de resolver uma equação quadrática, como fatoração, completamento de quadrados, pelo gráfico da função e outras.

Dada uma equação quadrática geral no formato:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

cujo discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ é positivo (onde ${\displaystyle x}$ representa um valor desconhecido, ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ representam constantes, sendo ${\displaystyle a\neq 0}$), a fórmula quadrática é:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ }$

na qual o sinal de mais ou menos "±" indica que a equação quadrática tem duas soluções. Quando escritas separadamente, estas são:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{e}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática. Geometricamente, essas raízes representam os valores de ${\displaystyle x}$ em que qualquer parábola, descrita como ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$, cruza o eixo ${\displaystyle x}$.

Além de ser uma fórmula que fornece as raízes de qualquer parábola, a fórmula quadrática também pode ser usada para identificar o eixo de simetria da mesma parábola, e o número de raízes reais que uma equação quadrática contém.

Embora no Brasil seja comumente atribuída a Bhaskara II, uma variante da fórmula que fornece a raiz real de uma equação quadrática já havia sido descoberta séculos antes do nascimento de Bhaskara, pelo matemático indiano Brahmagupta. Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite.

Formulações equivalentes

Quando o discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ é positivo, a fórmula quadrática também pode ser escrita no formato

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,}$

que pode ser simplificado para

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .}$

Essa versão da fórmula facilita a descoberta das raízes quando se usa uma calculadora.

Quando o discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ é negativo, raízes complexas estão envolvidas. Nesse caso, a fórmula quadrática acima pode ser descrita com a seguinte expressão (na qual a expressão fora da raíz quadrada é a parte real e a contida na raíz é a parte imaginária):

${\displaystyle x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\right|}}\ .}$

Método de Muller

Uma fórmula quadrática menos conhecida, que é utilizada no Método de Muller e que pode ser encontrada pelas Fórmulas de Vieta, fornece (assumindo ${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle c\neq 0}$) as mesmas raízes pela equação:

${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ .}$

Formulações baseadas em parametrizações alternativas

A parametrização padrão da equação quadrática é

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ .}$

Algumas fontes, particularmente as mais velhas, usam parametrizações da equação quadrática como

${\displaystyle ax^{2}-2b_{1}x+c=0}$, onde ${\displaystyle b_{1}=-b/2}$,

ou

${\displaystyle ax^{2}+2b_{2}x+c=0}$, onde ${\displaystyle b_{2}=b/2}$.

Essas parametrizações resultam em formas levemente diferentes para a solução, mas que são equivalentes à parametrização padrão.

Usando a técnica de 'completar o quadrado'

Método padrão

Divida a equação quadrática por ${\displaystyle a}$, que é permitido porque ${\displaystyle a\neq 0}$:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\ \ .}$

Subtraia ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ dos dois lados da equação, o que resulta em:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\ \ .}$

A equação quadrática agora está em um formato em que a técnica de completar o quadrado é aplicável. Adicionando uma constante a ambos os lados da equação de tal forma que o lado esquerdo da equação se torne um quadrado perfeito, a equação quadrática se torna:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ \ ,}$

o que produz:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ \ .}$

Assim, após reorganizar os termos do lado direito da equação para terem um denominador comum, nós obtemos:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Desta maneira, completamos o quadrado. Se o discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ é positivo, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando na seguinte equação:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}\ \ .}$

Nesse caso, isolar a variável ${\displaystyle x}$ nos fornece a fórmula quadrática:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\ \ .}$

Existem múltiplas variações dessa derivação com diferenças mínimas, principalmente em relação à manipulação da constante ${\displaystyle a}$.

Método mais curto

Também é possível completar o quadrado com uma sequência mais curta, e muitas vezes mais simples:

1. Multiplique cada lado por ${\displaystyle 4a}$,
2. Reorganize.
3. Adicione ${\displaystyle b^{2}}$ a ambos os lados para completar o quadrado.
4. O lado esquerdo é a expansão do polinômio ${\displaystyle (2ax+b)^{2}}$.
5. Extraia a raiz quadrada de ambos os lado.
6. Isole ${\displaystyle x}$.

Nesse caso, a fórmula quadrática é derivada da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\text{ (válido se }}b^{2}-4ac{\text{ é positivo)}}\\\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}$

Essa derivação da fórmula quadrática é extremamente antiga e era conhecida na Índia pelo menos desde 1025. Comparada à derivação em uso padrão, essa derivação alternativa evita frações até o último passo e portanto não requer uma reorganização após o terceiro passo para obter um denominador comum no lado direito.

Por substituição

Outra técnica é a solução por substituição. Nessa técnica, nós substituímos ${\displaystyle x=p+q}$ na equação quadrática para obtermos:

${\displaystyle a(p+q)^{2}+b(p+q)+c=0\ \ .}$

Expandindo o resultado e agrupando as potências de ${\displaystyle p}$ obtemos:

${\displaystyle ap^{2}+p(2aq+b)+\left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}$

Ainda não impusemos uma segunda condição em ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$, então escolheremos um ${\displaystyle q}$ para que o termo do meio desapareça. Ou seja, ${\displaystyle 2aq+b=0}$ ou ${\displaystyle \textstyle q={\frac {-b}{2a}}}$.

${\displaystyle ap^{2}+p(\ \ \ 0\ \ )+\left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}$

${\displaystyle ap^{2}+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}$

Subtraindo o termo constante de ambos os lados da equação (para movê-lo para o lado direito) e então dividindo por ${\displaystyle a}$ temos:

${\displaystyle p^{2}={\frac {-\left(aq^{2}+bq+c\right)}{a}}\ \ .}$

Substituindo ${\displaystyle m}$ temos:

${\displaystyle p^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Portanto, contanto que o discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ seja positivo,

${\displaystyle p=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}$

Expressando novamente ${\displaystyle p}$ em termos de ${\displaystyle x}$ usando a fórmula ${\displaystyle \textstyle x=p+q=p-{\frac {b}{2a}}}$ , A fórmula quadrática conhecida pode ser obtida:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Usando identidades algébricas

O método a seguir foi usada por muitos matemáticos ao longo da história:

Sejam r₁ e r₂ as raízes da equação quadrática padrão. A derivação começa ao lembrarmos da identidade:

${\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}\ \ .}$

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}\ \ .}$

Sabendo que a ≠ 0, podemos dividir a equação padrão por a para obter um polinômio quadrático com as mesmas raízes. Isto é,

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .}$

Podemos então perceber que a soma das raízes da equação quadrática padrão é dada por ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$, e o produto destas raízes é dado por ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$. Com isso em mente, podemos reescrever a identidade da seguinte forma:

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .}$

O que leva a,

${\displaystyle r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Já que ${\displaystyle r_{2}=-r_{1}-{\frac {b}{a}}}$ , se usarmos

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

então obtemos

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ ;}$

e se ao invés disso usarmos

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

então podemos calcular que

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Combinando esses resultados usando a abreviação ±, temos que as soluções da equação quadrática são:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Desenvolvimento histórico

Os primeiros métodos para resolver equações quadráticas eram geométricos. Tabletes cuneiforme babilônios continham problemas reduzíveis a resoluções de equações quadráticas. O Papiro de Berlim egípcio, que remonta ao Império Médio (2050 a.C até 1710 a.C), contém a solução para uma equação quadrática de dois termos.

O matemático grego Euclides (c. 300 a.C) usou métodos geométricos para resolver equações quadráticas no Livro 2 de seu tratado matemático Elementos. Regras para equações quadráticas aparecem no livro chinês Os nove capítulos da arte matemática (c. 200 a.C). Em seu tratado Arithmetica, o matemático grego Diofanto (c. 250 d.C) resolveu equações quadráticas com um método mais reconhecível como algébrico quando comparado à álgebra geométrica de Euclides. Sua solução só fornecia uma raiz, mesmo em casos com duas raízes positivas.

O matemático indiano Brahmagupta (597–668) descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta, publicado em 628 d.C., mas escrito em palavras em vez de símbolos. Sua solução da equação quadrática ax² + bx = c foi a seguinte: "Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o quadrado, adicione o quadrado do termo médio; a raiz quadrada do mesmo, menos o termo médio, sendo dividido por duas vezes o quadrado é o valor." Isso é equivalente a:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .}$

O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Sridhara [en] (870-930 d.C.), que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes. A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.

Referências