Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów ${\displaystyle x,y,z}$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem ${\displaystyle (x,y,z)}$. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi. Przy powyższym zapisie, ${\displaystyle x}$ nazywa się pierwszą współrzędną, ${\displaystyle y}$ – drugą współrzędną, a ${\displaystyle z}$ – trzecią współrzędną.

Definicje formalne

Za pomocą pary

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną ${\displaystyle (x,y,z)}$ jako parę uporządkowaną ${\displaystyle ((x,y),z)}$. Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądała by wówczas tak:

${\displaystyle (x,y,z)=((x,y),z)=(\{\{x\},\{x,y\}\},z)={\Bigl \{}{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\}{\Bigr \}},{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\},z{\Bigr \}}{\Bigr \}}}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną uporządkowaną, dla każdego ${\displaystyle n\geq 3}$.

Niezależnie od pary

Można zdefiniować trójkę niezależnie od pojęcia pary, na podobnej zasadzie jak krótką parę Kuratowskiego:

${\displaystyle (x,y,z)={\Bigl \{}x,\{x,y\},\{x,y,z\}{\Bigr \}}}$

Własności i zastosowanie

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że ${\displaystyle (a,b,c)=(d,e,f)\Leftrightarrow (a=d\wedge b=e\wedge c=f)}$.

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych.

Przypisy