W tym artykule omówimy Równanie całkowe, temat o dużym znaczeniu w obecnym kontekście. Równanie całkowe wzbudził duże zainteresowanie w różnych obszarach, gdyż jego wpływ jest odczuwalny w wielu sferach społeczeństwa. Z biegiem lat Równanie całkowe zyskiwał coraz większe znaczenie, co motywowało zainteresowanie naukowców, specjalistów i ekspertów w tej dziedzinie. W tym sensie istotne jest dokładne przeanalizowanie i zrozumienie Równanie całkowe, aby móc zidentyfikować jego implikacje i konsekwencje. Dlatego w całym artykule zostaną zbadane różne aspekty związane z Równanie całkowe, od jego pochodzenia do dzisiejszego wpływu.
Równanie całkowe – równanie funkcyjne, w którym występuje całka zawierająca niewiadomą funkcję. Rozwiązać równanie całkowe oznacza znaleźć tę funkcję. Niekiedy wraz z funkcją niewiadomą występuje dodatkowa funkcja pod całką (zwana jądrem całki lub jądrem równania). Sposób rozwiązania równania na ogół zależy od postaci jądra. Równania całkowe rozwiązuje się często metodami przybliżonymi, nieanalitycznymi. Wielu równań całkowych nie sposób rozwiązać analitycznie. Wiele zagadnień fizyki prowadzi do równań całkowych.
Do najlepiej poznanych typów należą równania Volterry i Fredholma.
Równania całkowe klasyfikuje się według kryteriów:
(1) granice całkowania:
(2) występowanie dodatkowej, znanej funkcji poza całką:
(3) miejsce występowania niewiadomej funkcji:
(1) Równanie Fredholma pierwszego rodzaju – to najprostsze równanie całkowe
gdzie:
Jest to równanie niejednorodne bo
(2) Równanie Fredholma drugiego rodzaju – nieznana funkcja występuje zarówno pod całką, jak i na zewnątrz niej
Jest to równanie niejednorodne bo Parametr jest nieznany i odgrywa rolę analogiczną do wartości własnej w algebrze liniowej.
(3) Równanie jest typu Volterra – jedna z granic całkowania jest zmienna:
a) równanie Volterra pierwszego rodzaju
b) równanie Volterra drugiego rodzaju
Oba równania są niejednorodne, bo
W ogólności: Jeżeli znana funkcja jest zerowa, to równania całkowe nazywa się jednorodnymi. W przeciwnym wypadku mamy równania niejednorodne.