W tym artykule zajmiemy się Pierścień z jednoznacznością rozkładu z kompleksowej i szczegółowej perspektywy, aby zapewnić naszym czytelnikom pełny i wzbogacający pogląd na ten temat. Idąc tym tropem, zbadamy różne aspekty, badania i opinie związane z Pierścień z jednoznacznością rozkładu, aby zaoferować globalną i zaktualizowaną analizę. Od powstania do obecnej ewolucji, poprzez wpływ na społeczeństwo i znaczenie w różnych obszarach, artykuł ten ma być wzbogacającym źródłem wiedzy dla wszystkich zainteresowanych wejściem do świata Pierścień z jednoznacznością rozkładu.
Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.
Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:
- pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała
Definicja
Dziedzina całkowitości nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy
- dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego istnieją elementy nierozkładalne takie, że
- jeżeli gdzie wszystkie elementy są nierozkładalne, to i istnieje permutacja taka, że to znaczy elementy te są stowarzyszone.
Własności
- Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
- Twierdzenie Gaussa: Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
- W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.
Przypisy
Bibliografia