W dzisiejszym świecie Operator śladowy stał się kwestią o ogromnym znaczeniu i znaczeniu w społeczeństwie. Jego wpływ rozszerzył się na wszystkie aspekty życia, od polityki po kulturę, technologię i ekonomię. Z biegiem czasu Operator śladowy ewoluował i nabrał nowego wymiaru, budząc zainteresowanie i niepokój profesjonalistów, ekspertów i ogółu obywateli. W tym artykule szczegółowo zbadamy wpływ Operator śladowy i przeanalizujemy jego wpływ na różne obszary naszego codziennego życia.
Operator śladowy – ograniczony operator liniowy na przestrzeni Hilberta o skończonym śladzie. Dokładniej, niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz niech (ei)i ∈ I będzie bazą ortonormalną przestrzeni H. Ograniczony operator liniowy T: H → H nazywany jest śladowym, gdy
przy czym T* oznacza sprzężenie operatora T. Powyższa liczba nazywana jest normą śladową operatora T i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni T.
Własności
Niech H będzie przestrzenią Hilberta, (ei)i ∈ I bazą ortonormalną w H oraz niech S, T: H → H będą ograniczonymi operatorami liniowymi.
- Jeżeli T jest operatorem samosprzężonym (tj. T* = T), to jest on śladowy wtedy i tylko wtedy, gdy T ma on skończony ślad, tj.
- w szczególności, każdy operator skończonego rzędu jest śladowy.
- Jeżeli T jest operatorem śladowym, to sprzężenie T* też jest operatorem śladowym.
- Jeżeli T i S są operatorami śladowymi, to suma T + S jest również operatorem śladowym.
- Jeżeli T jest operatorem śladowym, to złożenia TS i ST są operatorami śladowymi. Wynika stąd, że zbiór N(H) złożony ze wszystkich operatorów śladowych na H tworzy ideał algebry B(H) wszystkich operatorów ograniczonych na H, który jest zamknięty ze względu na operację sprzężenia. Ideał ten jest domknięty względem normy operatorowej wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń H jest skończenie wymiarowa (w tym wypadku N(H) = B(H)).
- Jeżeli T jest operatorem śladowym, to
- oraz
- Funkcja jest normą w rodzinie N(H) wszystkich operatorów śladowych na H.
Przypisy
Bibliografia
- Gerald J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory. New York: Academic Press, 1990. ISBN 978-0-12-511360-1.brak strony w książce
- Gert K. Pedersen: Analysis Now. New York: Springer-Verlag, 1989, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-1-4612-1007-8.brak strony w książce