W historii ludzkości Macierz odwrotna odegrał fundamentalną rolę w ewolucji społeczeństwa. Od czasów starożytnych Macierz odwrotna był przedmiotem badań, debat i podziwu, wpływając na decyzje i działania jednostek, społeczności i narodów. Z biegiem czasu Macierz odwrotna wykazał swoją zdolność do powodowania znaczących zmian w biegu historii, zarówno politycznych, społecznych, gospodarczych i kulturowych. W tym artykule zbadamy znaczenie Macierz odwrotna i jego wpływ w dzisiejszym świecie, analizując jego znaczenie w różnych obszarach i jego stałą obecność w codziennym życiu ludzi.
Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.
Niech będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz że zachodzi
gdzie jest macierzą jednostkową. Macierz nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy i oznacza się przez
Jeżeli taka macierz nie istnieje, to macierz nazywamy nieodwracalną.
Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.
Dla danego pierścienia zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia nad i oznacza
Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.
Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.
Jeżeli pierścień nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji czyli grupie ).
Macierz
ma wyznacznik równy którego odwrotność w pierścieniu również wynosi Zatem macierz ma macierz odwrotną w
Rzeczywiście,
a więc
Macierz
ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi ).
Macierz jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest
Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy obliczamy następująco:
gdzie jest macierzą dołączoną do macierzy (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).
Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.
Niech zaś Przez rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze kolumn jest kolumnami macierzy a następne kolumn jest kolumnami macierzy (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).
Aby znaleźć macierz odwrotną do należy rozwiązać układ równań względem macierzy która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy domnożyć macierz (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz (lub ). Ponieważ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako
Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz w macierz Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy w podmacierz jednostkową za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.