Konstrukcje klasyczne

Ten artykuł należy dopracować: brakuje odniesień do historii – a to pojęcie przecież ma znaczenie głównie historyczne. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Konstrukcje klasyczne, konstrukcje platońskie, konstrukcje przy użyciu cyrkla i liniału – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki (liniału).

Zasady konstrukcji

Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane:

• dwie proste,
• prostą i okrąg,
• dwa okręgi,

można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić, że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

Słynne problemy starożytności

Trzy słynne problemy starożytnej matematyki greckiej: trysekcja kąta (podział danego kąta na trzy równe części), podwojenie sześcianu (wyznaczenie krawędzi sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) i kwadratura koła (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła) nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki, ale dowód tego podany został dopiero w roku 1837 przez Pierre’a Wantzela i jest wnioskiem z twierdzenia noszącego dziś jego imię. Konstrukcje te mogą być jednak rozwiązane w przybliżeniu z dowolną założoną dokładnością. Podejmowano również próby zrealizowania innych niewykonywalnych konstrukcji, np. siedmiokąta foremnego czy powiązanej z kwadraturą koła rektyfikacji okręgu (konstrukcji odcinka o długości równej obwodowi danego okręgu).

Konstrukcje samą linijką

Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera).

Konstrukcje samym cyrklem

Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominie rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

Zobacz też

• twierdzenie Gaussa-Wantzela

Przypisy

Bibliografia

• Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 108, ISBN 83-02-02551-8 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Geometric Construction, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .