Komutator (matematyka)

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego terminu.

Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup

Komutator dwóch elementów ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ należących do grupy ${\displaystyle G}$ to element

${\displaystyle =g^{-1}h^{-1}gh.}$

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ komutują (czyli są przemienne, tzn. ${\displaystyle gh=hg}$). Podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy ${\displaystyle G.}$ Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

${\displaystyle =ghg^{-1}h^{-1}.}$

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie ${\displaystyle g^{x}}$ oznacza sprzężony (przez ${\displaystyle x}$) element ${\displaystyle x^{-1}gx.}$

• ${\displaystyle =^{-1}.}$
• ${\displaystyle \left,z\right]^{y}\cdot \left,x\right]^{z}\cdot \left,y\right]^{x}=1.}$
• ${\displaystyle =^{y}\cdot .}$
• ${\displaystyle =\cdot ^{z}.}$

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga

Powyższa definicja sprzężenia ${\displaystyle g}$ przez ${\displaystyle x}$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie ${\displaystyle g}$ przez ${\displaystyle x}$ jako ${\displaystyle xgx^{-1},}$ zwykle zapisuje się to jako ${\displaystyle {}^{x}g.}$

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

${\displaystyle =ab-ba.}$

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• ${\displaystyle =0,}$
• ${\displaystyle =-,}$
• ${\displaystyle ]+]+]=0.}$

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• ${\displaystyle =C+B,}$
• ${\displaystyle =A+B,}$
• ${\displaystyle =+,}$
• ${\displaystyle =AB+AC+BC,}$
• ${\displaystyle ,C],D]+,D],A]+,A],B]+,B],C]=,].}$

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest ustalonym elementem pierścienia ${\displaystyle {\mathfrak {R}},}$ pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania ${\displaystyle D_{A}\colon R\to R}$ danego wzorem ${\displaystyle B\mapsto .}$ Innymi słowy, odwzorowanie ${\displaystyle D_{A}}$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu ${\displaystyle {\mathfrak {R}}.}$

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:

• ${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B++{\tfrac {1}{2!}}]+{\tfrac {1}{3!}}]]+\dots }$

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy ${\displaystyle \operatorname {d} ,}$ który przekształca funkcję w jej pochodną oraz ${\displaystyle \operatorname {x} ,}$ który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle F}$ przebiega jak następuje:

• ${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)=\operatorname {dx} F+\operatorname {xd} F=F+\operatorname {xd} F,}$ ponieważ ${\displaystyle \operatorname {dx} =1,}$
• ${\displaystyle \operatorname {x} (\operatorname {d} F)=\operatorname {xd} F.}$

Odjęcie tych równań stronami daje:

${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F+\operatorname {xd} F-\operatorname {xd} F,}$

${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F.}$

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez ${\displaystyle F}$ jest

${\displaystyle (\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )F=F,}$

${\displaystyle (\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )=1,}$ czyli ${\displaystyle =1.}$

Stąd wynik zastosowania obu operatorów ${\displaystyle \operatorname {d} }$ i ${\displaystyle \operatorname {x} }$ na funkcję ${\displaystyle F}$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako ${\displaystyle _{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=.}$

Wówczas ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ jest różniczkowaniem, a ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ jest liniowe, np. ${\displaystyle \operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y)}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)}$ i homomorfizmem algebry Liego, np. ${\displaystyle \operatorname {ad} ()=,}$ ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość ${\displaystyle \operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)}$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=\left\right].}$
• ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=\left\right].}$

Komutator w fizyce

Komutator jest często używany w fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. ${\displaystyle =\operatorname {XP} -\operatorname {PX} =i\hbar ,}$ gdzie ${\displaystyle \operatorname {X} }$ oraz ${\displaystyle \operatorname {P} }$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które dla bozonów spełniają reguły komutacji, a dla fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator

Antykomutator ${\displaystyle \{a,b\}}$ lub ${\displaystyle _{+}}$ definiowany jest jako ${\displaystyle _{+}=ab+ba.}$ Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus ${\displaystyle _{-}.}$

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermiony). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, tzn. ${\displaystyle _{+}=0={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }.}$

Reguła ta wynika z zakazu Pauliego mówiącego, że dany stan kwantowy może być obsadzony tylko przez jedną cząstkę.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym ${\displaystyle _{\pm }}$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

Zobacz hasło komutator w Wikisłowniku

• antyprzemienność
• algebra różniczkowa
• pochodna Pincherlego
• nawias Poissona
• kanoniczna relacja komutacji
• mechanika kwantowa

Przypisy

Bibliografia

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.brak strony w książce
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.brak strony w książce