W tym artykule omówimy temat Hamiltonian z różnych perspektyw i podejść, aby zapewnić czytelnikowi głębokie i pełne zrozumienie tego tematu, który jest dziś tak istotny. Uwzględnione zostaną aspekty historyczne, kulturowe, społeczne i naukowe związane z Hamiltonian, aby zapewnić wszechstronną i całościową wizję jego znaczenia i wpływu w różnych obszarach. Poprzez szczegółową i rygorystyczną analizę będziemy starali się zaoferować czytelnikowi pełną i zaktualizowaną wizję Hamiltonian, w celu promowania krytycznej i wzbogacającej refleksji na temat tego tematu i jego wpływu na współczesne społeczeństwo.
Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych
gdzie:
Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.
Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.
W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.
Funkcję Hamiltona otrzymuje się,
przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.
Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.
(1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci
Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:
(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a
gdzie:
Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej
Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a
przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.