Dyskusja:Metoda przekątniowa

Artykuł jest ciekawy, ale brak w nim jasnej definicji czym właściwie jest to rozumowanie i czym się różni od zwykłego dowodu nie-wprost. Oprócz przykładu potrzebna jest tu też jasna definicja tego pojęcia.
--polimerek

Mówiąc potocznie: liczb naturalnych jest więcej niż liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) Mówiac potoczmnie to jest na odwrót. Mam pewnosc, ze wkradl sie blad, ale ze wzgledu na to, iz dopiero dzisiaj mam o 14 :) egzamin z wstepu do matematyki postanowilem wstrzymac sie z wniesienmiem poprawki i prosze o to osobe (zapewne bardziej kompetenta).

Druga uwaga tyczy sie pierwszych slow definicji: "metoda przekatkniowa" do klasyczne rozumowanie nie-wprost. Osobiscie spotkalem sie z takim okresleniem (m.p) dla konstrukcji (wprost!) monomorfizmu z Q na n (f(n,m) = 2^m +2n -1) stad tez moja watpliowsc.
--MerDacz

Co do pierwszej części Twojej wypowiedzi - rzecz jasna więcej należało zamienić na mniej, nie musisz w tym względzie czekać na kogoś bardziej "kompetentnego". :) Co do drugiej części (monomorfizmu), to chyba jakaś pomyłka. Rozumowanie przekątniowe zawsze jest nie wprost (co ładnie zresztą wyjaśnił Kakaz. (nawiasem mówiąc to chyba jest on z N*N w N, a nie z Q w N ;). Pozdrawiam serdeczenie!

Pbn

Racja, oczywiscie to nie monomorfizm. napisalem tak z rozpedu (wzor). Istota jest taka oto konstrukcja: wypisujemy ulamki w nastepujacy sposob (w postaci nieskonczonej tablicy)

1/1, 2/1, 3/1, ...
1/2, 2/2, 3/2, ...
1/3, 2/3, 3/3, ...
1/4, 2/4, 3/4, ...
.
.
.

nastepnie ,,idac po przekatnych" wypisujemy (1/1), (2/1, 1/2), (1/3, 2/2, 3/1), ... W nawiasy ujalem elementy znajdujace sie w obrebie jednej przekatnej. Mamy juz pewien (nieroznowartosciowy) ciag, czyli funkcje z N ->Q. Istotnie jezeli z ciagu tego wykreslimy te ulamki (a,b), dla ktorych (a,b) != 1, to wowczas uzyskamy ciag roznowartosciowy, czyli bijekcje z N -> Q. Takie postepowanie we wspomniamy juz skrypcie zostalo skwitowane slowami "rozumowanie przekatniowe". Stad moja poprzednia uwaga. Pozdr,
--MerDacz

Metoda przekątniowa ma najliczniejsze i najpowszechniej znane zastosowania w dowodach nie-wprost, ale nie tylko!! Na przykład, można zastosować rozumowanie przekątniowe w konstrukcji rozwiązań równań różniczkowych wyższych wymiarów (chociaż nie jest to standardowa metoda), oraz w podobnych problemach dających się dzięki metodzie przekątniowej sprowadzić z wielowymiarowego (skończenie bądź nieskończenie wymiarowego) problemu do rozumowań granicznych na prostej.--Sebrus7

artykuł bardzo dobry, ale przyczepiłbym sie do oststniego akapitu:), cytuje :

'Z drugiej strony, zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z właściwym podzbiorem zbioru (...), co właśnie oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza od mocy zbioru , a co za tym idzie mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych.'

z tego przykładu można by chyba wyciągnąc błędny wniosek że skoro: Zbiór liczb N jest właściwym podzbiorem liczb Q to #Q>#N(to chyba podpada pod zapis nieformalny :)) , niestety przykład jest niedydaktyczny :) poczekam na odpowiedź i najwyżej usune albo zamienie --Gabber 21:36, 9 maj 2005 (CEST)

dobra usówam--Gabber 12:11, 12 maj 2005 (CEST)

Raczej wynika że skoro #N<#A i #A=#R to #N<#R --15:44, 27 mar 2011 46.186.44.45 (dyskusja)

Obawiam się, że w wyjaśnieniu zasady konstruowania liczby "spoza zbioru" w metodzie przekątniowej najważniejsza część jest co najmniej niejasna.

Otóż, jeżeli zakładamy, że nasz zbiór wyjściowy zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z zakresu 0..1 to na każdej pozycji każda cyfra na pewno występuje (bo jej niewystępowanie byłoby oczywistym "brakiem", a więc liczby nie byłyby "wszystkie").

Tak więc na pewno jest liczba z jedynką na pierwszym miejscu po przecinku, z dwójką, trójką i tak dalej, i tak samo dla dowolnej pozycji po przecinku.

Zatem jeżeli konstruujemy liczbę różniącą się o 1 od pierwszej na pierwszym miejscu po przecinku, to co prawda uzyskujemy liczbę różną od tejże, ale na pewno "trafiamy" w jakąś inną liczbę obecną w zbiorze (na jakimś miejscu N), a w kroku N-tym konstruując liczbę różniącą się o 1 od tejże N-tej trafiamy z kolei w inną liczbę (powiedzmy, M-tą) i tak dalej. Wygląda więc na to, że dla dowolnej pozycji co prawda można skonstruować liczbę różną od danej (i wszystkich "poprzednich", jako że w rozumowaniu przesuwamy się w prawo od przecinka) ale zawsze trafia się w jakąś inną już obecną w zbiorze a nie wychodzi poz a zbiór.

Gdzie więc jest krok dowodowy wykazujący, że powtórzenie tej samej procedury nieskończenie wiele razy w końcu zapewni sukces? Skoro nie jest możliwe wyjście poza zbiór liczb w skończonej liczbie kroków, i dla każdego kolejnego kroku trafia się w inną liczbę jużw zbiorze obecną (nie ważne że nie wiemy w którą, ważne że się trafia), to rozumując indukcyjnie można wręcz wykazać fałszywość rozumowania przekątniowego. Być może niemożliwe jest skonstruowanie liczby różnej od wszystkich liczb w oryginalnym zbiorze 0..1, co falsyfikowałoby metodę przekątniową i podważało twierdzenia w których dowodach jej użyto (przynajmniej w opisanym wyżej wariancie).

pozdrawiam i proszę o skomentowanie/sprostowanie powyższego wywodu. Rafał --198.240.212.3 (dyskusja) 13:51, 21 cze 2016‎ (CEST)

Po pierwsze, nie "zakładamy" że mamy ciąg wszystkich liczb rzeczywistych skoro zamierzamy właśnie pokazać, że nie wszystkie w nim są – bo to by było założenie sprzeczne z tezą, siłą rzeczy dowodzilibyśmy fałszu!

Po drugie, nie jest istotne, że w kroku pierwszym "trafiamy w jakąś pozycję N-tą", skoro w N-tym kroku unikniemy równości z ową N-tą liczbą. Zobacz, że ten argument stosuje się iteracyjnie, do każdej pozycji: pokazana konstrukcja prowadzi do liczby, która różni się od każdej liczby z listy (różnicę względem dowolnie wybranej M-tej liczby gwarantujemy sobie w M-tym kroku, niezależnie od tego co działo się w krokach poprzednich).

Tak więc nie ma tu żadnej luki – nawet jeśli chwilowo "trafimy w coś", to i tak później to "coś" ominiemy. --CiaPan (dyskusja) 17:01, 21 cze 2016 (CEST)

Nie zgadzam się z Tobą, CiaPan.

Zakładamy, że mamy ciąg wszystkich liczb rzeczywistych z . Technika dowodu nie wprost (jedna, najsilniejsza z tych technik), polega na tym, że zakładamy że dowodzone twierdzenie jest fałszywe (ostrożniejsi mówią "Stawiamy hipotezę, że dowodzone twierdzenie jest fałszywe"), i dołączając do tego założenia/hipotezy inne prawdziwe fakty dochodzimy do wniosku, którego fałszywość daje się udowodnić. W ten sposób dostajemy przesłankę, że zbiór faktów, z których korzystaliśmy zawiera przynajmniej jeden fakt fałszywy (bo z koniunkcji samych faktów prawdziwych nie może wynikać fałsz). Jedynym podejrzanym o fałszywość faktem jest zaprzeczenie dowodzonego twierdzenia. Skoro zaprzeczenie dowodzonego twierdzenia jest fałszem, to twierdzenie jest prawdziwe.

MusJabłkowy (dyskusja) 19:09, 14 mar 2022 (CET)

Wydaje mi się, że sposób zmieniania cyfr jest nieprawidłowy. Jeśli liczba otrzymana przez wybieranie k-tej cyfry k-tej liczby kończy się na same ósemki, to po zmianie cyfr otrzymamy liczbę, która kończy się na same dziewiątki, powiedzmy od n-tej pozycji (a na pozycji n-1 ma cyfrę inną niż 9). Liczba ta jest równa liczbie, która na pozycjach od 1 do n-2 ma te same cyfry, na pozycji n-1 ma cyfrę o jeden zwiększoną, a dalej same zera. A ta liczba może wystąpić w hipotetycznym ciągu wszystkich liczb z .

Moim zdaniem trzeba zmienić krok zmiany cyfr na taki:

• jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku jedną z cyfr 0,1,...7, to liczba ${\displaystyle a}$ ma na k-tym miejscu cyfrę o 1 większą;
• jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę 8 lub 9, to liczba ${\displaystyle a}$ ma na k-tym miejscu cyfrę 1.

W naszym przykładzie liczba ${\displaystyle a}$ wyglądałaby tak:

0,3802334...

W ten sposób w zmienionej liczbie nie występują cyfry 9 ani 0, a tylko one mogą prowadzić do dwóch różnych reprezentacji tej samej liczby.

Albo prościej:

• jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę 1, to liczba ${\displaystyle a}$ ma na k-tym miejscu cyfrę 2;
• jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę różną od 1, to liczba ${\displaystyle a}$ ma na k-tym miejscu cyfrę 1.

W naszym przykładzie liczba ${\displaystyle a}$ wyglądałaby tak:

0,1112111...

Ale nie mogę poprzeć tej propozycji przypisem. Czy zatem mogę zrobić taką edycję? Proszę, by się w tym miejscu wypowiedział ktoś z uprawnieniami do zatwierdzenia edycji.

MusJabłkowy (dyskusja) 18:55, 14 mar 2022 (CET)

Rozumowanie przedstawione przez @MusJabłkowy niestety jest błędne: liczba otrzymana przez wybieranie k-tej cyfry z k-tej liczby nie może kończyć się samymi ósemkami. Wynika to stąd, że liczb niezawierających ósemek w rozwinięciu dziesiętnym jest nieskończenie wiele i liczby te znajdują się dowolnie daleko (nisko) w tablicy rozwinięć, stąd na przekątnej zawierającej cyfry tworzonej liczby dowolnie daleko będą cyfry inne niż ósemka. To samo dotyczy nie tylko ósemek – nie da się utworzyć liczby kończącej się ciągiem stałym z tą samą cyfrą. Powiem więcej: nie da się utworzyć jakiejkolwiek wymiernej liczby (tu dowód jest nieco trudniejszy).
Problem w tym, że tworzonej liczby nie można efektywnie określić. Wiemy on niej w zasadzie tylko trzy rzeczy: 1. taka liczba istnieje 2. jest ona niewymierna (i jako taka ma jedyną reprezentację dziesiętną), 3. po zamianie cyfr wg zaproponowanej w artykule metody dalej będzie niewymierna (z jedyną reprezentacją) oraz nie będzie należała do „ciągu” liczb rzeczywistych, bo będzie różnić się od każdej z tych liczb jakąś cyfrą.185.253.228.11 (dyskusja) 10:56, 17 mar 2022 (CET)