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In matematica, una matrice di Sylvester è una matrice associata a due polinomi che permette di dare alcune informazioni sui polinomi stessi. Il nome è legato al matematico James Joseph Sylvester.
Siano p e q due polinomi aventi, rispettivamente, i gradi positivi m ed n che scriviamo:
La matrice di Sylvester associata a p e q, che denotiamo con Sp,q è la matrice di aspetto ottenuta come segue:
Ad esempio, se poniamo m=4 e n=3, la matrice cercata risulta essere:
Le matrici di Sylvester sono usate nell'algebra commutativa, per verificare se due polinomi hanno un fattore comune (non costante). In realtà, in questo caso, il determinante della matrice di Sylvester associata, che è chiamato risultante dei due polinomi, è uguale a zero. È vero anche il viceversa.
La soluzione delle equazioni lineari:
dove è un vettore di dimensione e è di dimensione , porta a tutti e soli i polinomi x e y, aventi rispettivamente i gradi n - 1 ed m - 1, che soddisfano la identità polinomiale
Questo vuol dire che il nucleo della matrice di Sylvester trasposta dà tutte le soluzioni del teorema di Bézout dove e .
Di conseguenza il rango della matrice di Sylvester determina il grado del massimo comun divisore di e .