Nel mondo di oggi, Funzioni ellittiche di Weierstrass è diventato un argomento di grande rilevanza e interesse per un'ampia varietà di persone. Dal suo impatto sulla società alle implicazioni sul settore, Funzioni ellittiche di Weierstrass è un argomento che continua a generare dibattiti e riflessioni. Poiché gli studi e le ricerche continuano a rivelare nuovi aspetti di Funzioni ellittiche di Weierstrass, la sua importanza nella nostra vita quotidiana diventa evidente. In questo articolo esploreremo diversi aspetti legati a Funzioni ellittiche di Weierstrass e la sua influenza in vari ambiti, con l'obiettivo di comprenderne meglio la portata e il significato oggi.
Come funzione ellittica di Weierstrass si possono definire tre funzioni strettamente collegate, ciascuna delle quali possiede certi vantaggi. Si tratta di tre funzioni con diversi elenchi di argomenti per le quali si usa lo stesso simbolo, in quanto le differenze relative agli argomenti risultano piuttosto evidenti. La prima funzione ha come argomenti una variabile complessa e un reticolo nel piano complesso. La seconda ha come argomenti e due numeri complessi e i quali costituiscono un doppietto di generatori, o periodi, per il reticolo. La terza ha come argomenti e un modulo , elemento del semipiano superiore. Questo parametro si collega agli argomenti della seconda funzione con la relazione , qualora si assuma che i due periodi appartengano al semipiano superiore. Le funzioni del terzo tipo, fissando un valore per la , diventano le funzioni modulari di .
Come funzione avente come argomenti i due periodi e , la funzione ellittica di Weierstrass è definita come:
Si definiscono allora il reticolo periodico e la funzione di Weierstrass di una variabile complessa e del reticolo come:
Se denota un generico numero complesso del semipiano superiore, si pone:
La precedente espressione è omogenea di grado e questo consente di definire la funzione di Weierstrass avente come argomenti due periodi generici, come:
si può calcolare molto rapidamente in termini di funzioni theta; perché queste convergono molto rapidamente, questa è una via molto più rapida per calcolare rispetto alle serie usate per definirla. La formula è:
dove:
C'è un polo del secondo ordine ad ogni punto del reticolo (inclusa l'origine). Con queste definizioni, è una funzione pari e la sua derivata rispetto a , , dispari.
(EN) Tom M. Apostol (1976): Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, ISBN 0-387-97127-0(Vedi Chapter 1)
(EN) K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
(EN) Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0(Vedi chapter 1)
(EN) Naum Illyich Akhiezer (1990): Elements of the Theory of Elliptic Functions, AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79, AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2. Traduzione in inglese del testo in russo pubblicato a Mosca nel 1970.