Aujourd'hui, Théorie des nombres est un sujet d'une grande importance dans la société contemporaine. Avec les progrès de la technologie et de la mondialisation, Théorie des nombres est devenu plus pertinent dans différents domaines, de la politique et de l'économie à la culture et au divertissement. Dans cet article, nous explorerons en détail l'importance de Théorie des nombres aujourd'hui, ainsi que ses implications et répercussions dans le monde moderne. Nous analyserons comment Théorie des nombres a impacté la vie quotidienne des gens et comment il a changé notre relation avec le monde qui nous entoure. De plus, nous examinerons certaines des perspectives et débats les plus pertinents autour de Théorie des nombres, dans le but de fournir une vision large et approfondie de ce sujet capital.
Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. C'est ce qu'exprime la citation suivante, de Jürgen Neukirch :
« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences. »
Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectif arithmétique reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, arithmétique des courbes et surfaces elliptiques, etc.), où la restriction des questions et des solutions aux entiers, ou à certaines de leurs extensions, joue un rôle déterminant. Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé en logique pour l'étude des systèmes formels axiomatisant les entiers, comme dans l'arithmétique de Peano.
La théorie des nombres est divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.
Le terme élémentaire désigne généralement une méthode qui n'use pas d'analyse complexe. Par exemple, le théorème des nombres premiers a été prouvé en utilisant une analyse complexe en 1896, mais la preuve élémentaire n'a été trouvée qu'en 1949 par Erdős et Selberg. Le terme est quelque peu ambigu : par exemple, les preuves basées sur des théorèmes taubériens complexes (par exemple le théorème de Wiener-Ikehara) sont souvent considérées comme très éclairantes mais non élémentaires. Une preuve élémentaire peut être plus longue et plus difficile pour la plupart des lecteurs qu'une preuve non élémentaire.
La théorie des nombres a la réputation d'être un domaine dont beaucoup de résultats peuvent être compris par le profane. En même temps, les preuves de ces résultats ne sont pas particulièrement accessibles, en partie parce que la gamme d'outils qu'ils utilisent est exceptionnellement large en mathématiques.
Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :
La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable, c’est-à-dire qu’on peut construire une équation explicite dont l’existence de solutions ne peut être démontrée à l’aide des axiomes usuels des mathématiques (c’est le théorème de Matiyasevich).
La théorie analytique des nombres peut être définie :
Certains sujets généralement considérés comme faisant partie de la théorie analytique des nombres, par exemple la théorie des cribles, sont définis plutôt par la seconde définition.
Voici des exemples de problèmes en théorie analytique des nombres : le théorème des nombres premiers, la conjecture de Goldbach (ou la conjecture des nombres premiers jumeaux ou les conjectures de Hardy-Littlewood), le problème de Waring ou encore l'hypothèse de Riemann. Certains des outils les plus importants de la théorie analytique des nombres sont la méthode du cercle, les méthodes des cribles et les fonctions L. La théorie des formes modulaires (et plus généralement des formes automorphes) occupe également une place de plus en plus centrale en théorie analytique des nombres.
Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps . Par exemple, toute solution de est un nombre algébrique. La théorie algébrique des nombres étudie les champs de nombres algébriques. Ainsi, les théories analytique et algébrique des nombres peuvent se chevaucher : la première est définie par ses méthodes, la seconde par ses objets d'étude.
Les fondations de cette branche telle que nous la connaissons, ont été établies à la fin du XIXe siècle, lorsque les idéaux et la valuation ont été développés. L'impulsion du développement des idéaux (par Ernst Kummer) semble provenir de l'étude des lois de réciprocité supérieure, c'est-à-dire des généralisations de la loi de réciprocité quadratique.
Les corps sont souvent étudiés comme extensions d'autres corps plus petits: un corps L est dit être une extension d'un corps K si L contient K. La classification des extensions abéliennes a fait l'objet du programme de théorie des corps de classes, initié à la fin du XIXe siècle (en partie par Kronecker et Eisenstein) et réalisé en grande partie en 1900-1950.
La théorie d'Iwasawa est un exemple de domaine de recherche actif en théorie algébrique des nombres. Le programme de Langlands, l'un des principaux programme de recherche actuels à grande échelle en mathématiques, est parfois décrit comme une tentative de généraliser la théorie des corps de classes aux extensions non abéliennes.
Le problème central de la géométrie diophantienne est de déterminer quand une équation diophantienne a des solutions, et si oui, combien. L'approche adoptée est de considérer les solutions d'une équation comme un objet géométrique.
Par exemple, une équation à deux variables définit une courbe dans le plan. Plus généralement, une équation, ou un système d'équations, à deux ou plusieurs variables définit une courbe, une surface, etc., dans un espace à n dimensions. En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe des points rationnels (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou des points entiers (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. S'il y a de tels points, l'étape suivante consiste à demander combien il y en a et comment ils sont répartis. Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? Qu'en est-il des points entiers ?
Un exemple serait l'équation de Pythagore ; nous voudrions étudier ses solutions rationnelles, c'est-à-dire ses solutions telles que x et y soient tous deux rationnels. Cela revient à demander toutes les solutions entières de ; toute solution à cette dernière équation nous donne une solution , . Cela est équivalent au fait de demander tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe décrite par (cette courbe se trouve être le cercle unité).
La reformulation des questions sur les équations en termes de points sur les courbes s'avère fructueuse. La finitude ou non du nombre de points rationnels ou entiers sur une courbe algébrique, s'avère dépendre de façon cruciale du genre de la courbe. Ce domaine est étroitement lié aux approximations diophantiennes : étant donné un nombre, à quel point peut-il être approché par des rationnels ? (On considère qu'un rationnel , avec a et b premiers entre eux, est une bonne approximation de si , où est grand.) Cette question est d'un intérêt particulier si est un nombre algébrique. Si ne peut pas être bien approximé, alors certaines équations n'ont pas de solutions entières ou rationnelles. De plus, plusieurs concepts s'avèrent cruciaux à la fois en géométrie diophantienne et dans l'étude des approximations diophantiennes. Cette question est également d'un intérêt particulier en théorie des nombres transcendants : si un nombre peut être mieux approché que n'importe quel nombre algébrique, alors c'est un nombre transcendant. C'est par cet argument qu'il a été démontré que et sont transcendants.
La géométrie diophantienne ne doit pas être confondue avec la géométrie des nombres, qui est une collection de méthodes graphiques pour répondre à certaines questions de la théorie algébrique des nombres. Le terme de géométrie arithmétique est sans doute le plus souvent utilisé lorsque l'on veut mettre l'accent sur les liens avec la géométrie algébrique moderne (comme le théorème de Faltings) plutôt que sur les techniques des approximations diophantiennes.
En prenant un nombre au hasard entre un et un million, quelle est la probabilité qu'il soit premier ? C'est juste une autre façon de demander combien il y a de nombres premiers entre un et un million. Et combien de diviseurs aura-t-il, en moyenne ?
Une grande partie de la théorie probabiliste des nombres peut être considérée comme une branche de l'étude de variables qui sont presque indépendantes les unes des autres. Parfois, une approche probabiliste non rigoureuse conduit à un certain nombre d'algorithmes heuristiques et de problèmes ouverts, notamment la conjecture de Cramér.
Soit A un ensemble de N entiers. Considérons l'ensemble A + A = { m + n | m, n ∈ A } constitué de toutes les sommes de deux éléments de A. A + A est-il beaucoup plus grand que A? À peine plus grand ? A ressemble-t-il à une suite arithmétique? Si nous partons d'un ensemble infini A assez grand, contient-il beaucoup d'éléments dans la progression arithmétique ?
Ces questions sont caractéristiques de la théorie combinatoire des nombres. Son intérêt pour les questions de croissance et de distribution tient en partie au développement de ses liens avec la théorie ergodique, la théorie des groupes finis, la théorie des modèles et d'autres domaines. Les ensembles étudiés n'ont pas besoin d'être des ensembles d'entiers, mais plutôt des sous-ensembles de groupes non commutatifs, pour lesquels le symbole de multiplication, et non le symbole d'addition, est traditionnellement utilisé; ils peuvent également être des sous-ensembles d'anneaux.
Il y a deux questions principales: « pouvons-nous calculer cela ? » et « pouvons-nous le calculer rapidement ? ». N'importe qui peut tester si un nombre est premier ou, si ce n'est pas le cas, obtenir sa décomposition en facteurs premiers ; le faire rapidement devient plus compliqué. Nous connaissons aujourd'hui des algorithmes rapides pour tester la primalité, mais, malgré beaucoup de travail (à la fois théorique et pratique), aucun algorithme n'est vraiment rapide pour cette tâche.
La difficulté d'un calcul peut être utile : les protocoles modernes de chiffrement de messages (par exemple, le RSA) dépendent de fonctions connues de tous, mais dont les inverses ne sont connus que d'un petit nombre, et les trouver par ses propres moyens prendrait trop de temps. Alors que de nombreux problèmes de calcul en dehors de la théorie des nombres sont connus, la plupart des protocoles de chiffrement actuels sont basés sur la difficulté de quelques problèmes théoriques.
Il s'avère que certaines choses peuvent ne pas être calculables du tout ; cela peut être prouvé dans certains cas. Par exemple, en 1970, il a été prouvé, résolvant ainsi le dixième problème de Hilbert, qu'il n'existe pas de machine de Turing capable de résoudre toutes les équations diophantiennes. Cela signifie que, compte tenu d'un ensemble d'axiomes calculables et énumérables, il existe des équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe aucune démonstration, à partir des axiomes, de savoir si l'ensemble des équations a ou non des solutions entières.
La découverte historique d'une nature arithmétique est un fragment de tableau : la tablette d'argile brisée Plimpton 322 (Larsa, Mésopotamie, vers 1800 avant notre ère) contient une liste « triplets pythagoriciens », c'est-à-dire des entiers tels que . Ceux-ci sont trop grands pour avoir été obtenus par recherche exhaustive. La disposition de la tablette suggère qu'elle a été construite au moyen de ce qui équivaut, dans un langage moderne, à l'identité
Alors que la théorie des nombres babylonienne consiste en ce seul fragment, l'algèbre babylonienne (au sens de l'« algèbre » des études secondaires) était exceptionnellement bien développée. Pythagore aurait appris les mathématiques auprès des Babyloniens. Beaucoup de sources antérieures déclarent que Thalès et Pythagore ont voyagé et étudié en Égypte.
La découverte de l'irrationalité de √2 est attribuée aux premiers pythagoriciens,,. Cette découverte semble avoir provoqué la première crise de l'histoire mathématique ; sa preuve et sa diffusion sont parfois attribuées à Hippase, qui a été expulsé de la secte pythagoricienne. Cela a forcé à faire une distinction entre les nombres (entiers et rationnels), d'une part, et les longueurs et les proportions (nombres réels), d'autre part.
Le théorème des restes chinois apparaît comme un exercice dans le traité Sunzi Suanjing (IIIe, IVe, ou Ve siècle av. J.-C.),.
En dehors de quelques fragments, les mathématiques de la Grèce antique nous sont connues soit par les rapports de non-mathématiciens contemporains ou à travers des œuvres mathématiques de la période hellénistique. Dans le cas de la théorie des nombres, cela inclus Platon et Euclide. Platon s'intéressait aux mathématiques et distinguait nettement l'arithmétique et le calcul. (Par arithmétique, il entendait la théorisation sur le nombre.) C'est à travers un des dialogues de Platon, Théétète, que nous savons que Théodore a prouvé que sont des nombres irrationnels. Théétète était, comme Platon, un disciple de Théodore; il a travaillé sur la distinction des différents types de commensurabilité, et était donc sans doute un pionnier dans l'étude des systèmes numériques.
Euclide a consacré une partie de ses Éléments aux nombres premiers et à la divisibilité, sujets centraux en théorie des nombres (Livres VII à IX des Éléments d'Euclide). En particulier, il a donné un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres (Éléments, Prop. VII.2) et la première preuve connue de l’existence d'une infinité des nombres premiers (Éléments, Prop. IX.20).
Nous ne savons que très peu de choses sur Diophante d'Alexandrie ; il a probablement vécu au troisième siècle de notre ère, c'est-à-dire environ cinq cents ans après Euclide. L'Arithmetica est une collection de problèmes où la tâche est de trouver des solutions rationnelles à des équations polynomiales, généralement de la forme ou ou . Ainsi, de nos jours, on parle d'équations diophantiennes quand on parle d'équations polynomiales dont on doit trouver des solutions rationnelles ou entières.
Tandis que Diophante s'intéressait surtout aux solutions rationnelles, il émettait des conjectures sur les entiers naturels, comme le fait que tout entier est la somme de quatre carrés.
Alors que l'astronomie grecque a probablement influencé l'apprentissage indien, au point d'introduire la trigonométrie, il semble que les mathématiques indiennes soient une tradition indigène ; en effet, il n'y a aucune preuve que les Éléments d'Euclide aient atteint l'Inde avant le XVIIIe siècle.
Āryabhaṭa (476-550 av. J.C.) a montré que les paires de congruences , pouvaient être résolues par une méthode qu'il a appelée kuṭṭaka ; c'est une procédure proche et généralisée de l'algorithme d'Euclide, qui a probablement été découvert indépendamment en Inde,. Brahmagupta (628 avant J.C.) a commencé l'étude des équations quadratiques, en particulier l'équation de Pell-Fermat, à laquelle Archimède s'était déjà intéressé, et qui n'a commencé à être résolue en Occident qu'avec Fermat et Euler. Une procédure générale (la méthode chakravala) pour résoudre l'équation de Pell-Fermat a été trouvée par Jayadeva (cité au XIe siècle, son travail est perdu) ; la première exposition survivante apparaît dans Bīja-gaṇita de Bhāskara II. Les mathématiques indiennes sont restées inconnues en Europe jusqu'à la fin du XVIIIe siècle. Le travail de Brahmagupta et Bhāskara a été traduit en anglais en 1817 par Henry Colebrooke.
Au début du IXe siècle, le calife Al-Ma'mūn ordonna la traduction de nombreuses œuvres mathématiques grecques et d'au moins une œuvre sanscrite (le Sindhind, qui pourrait ou non être le Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta). L'œuvre principale de Diophante, l'Arithmetica, a été traduite en arabe par Qusta ibn Luqa (820-912). Selon Roshdi Rashed, Alhazen, contemporain d'Al-Karaji, connaissait ce qui sera plus tard appelé le théorème de Wilson.
À part un traité sur les carrés en progression arithmétique par Fibonacci, aucun progrès en théorie des nombres ne fut effectuée en Europe de l'Ouest au Moyen Âge. Les choses ont commencé à changer en Europe à la fin de la Renaissance, grâce à une étude renouvelée des œuvres de l'Antiquité grecque.
Pierre de Fermat (1601-1665) n'a jamais publié ses écrits ; en particulier, son travail sur la théorie des nombres est contenu presque entièrement dans des lettres aux mathématiciens et dans les notes et marges privées. Il n'a presque écrit aucune démonstration en théorie des nombres. Il n'avait aucun modèle dans le domaine. Il a fait un usage répété du raisonnement par récurrence, en introduisant la méthode de descente infinie. Un des premiers intérêts de Fermat était les nombres parfaits (qui apparaissent dans les Éléments IX d'Euclide) et les nombres amicaux ; ceci l'amène à travailler sur des diviseurs entiers, qui furent dès le début parmi les sujets de la correspondance (année 1636 et suivantes) qui le mettent en contact avec la communauté mathématique de l'époque. Il avait déjà étudié attentivement l'édition de Bachet de Diophante ; après 1643, ses intérêts se sont portés vers les problèmes diophantiens et somme de carrés (aussi traités par Diophante).
Les résultats de Fermat en arithmétique incluent :
La déclaration de Fermat (« dernier théorème de Fermat ») d'avoir montré qu'il n'y a pas de solutions à l'équation pour tout apparaît seulement en marge d'une copie d'Arithmetica de Diophante.
L'intérêt de Leonhard Euler (1707-1783) pour la théorie des nombres fut d'abord stimulé en 1729, quand un de ses amis, l'amateur Goldbach, l'orienta vers une partie du travail de Fermat sur le sujet,. Cela a été appelé la « renaissance » de la théorie moderne des nombres, après le relatif manque de succès de Fermat pour attirer l'attention de ses contemporains sur le sujet. Le travail d'Euler sur la théorie des nombres comprend les éléments suivants :
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fut le premier à donner des preuves complètes à certains travaux et observations de Fermat et Euler – par exemple, le théorème des quatre carrés et la théorie de l'équation de Pell-Fermat. Il a également étudié les formes quadratiques définissant leur relation d'équivalence, montrant comment les mettre sous forme réduite, etc.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fut le premier à énoncer la loi de réciprocité quadratique. Il a également conjecturé ce qui équivaut aujourd'hui au théorème des nombres premiers et au théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. Il a donné une analyse complète de l'équation . Durant la fin de sa vie, il fut le premier à prouver le dernier théorème de Fermat pour n = 5.
Dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a démontré la loi de réciprocité quadratique et développé la théorie des formes quadratiques. Il a également introduit la notation de congruence et a consacré une section aux tests de primalité. La dernière section des Disquisitiones établit un lien entre les racines de l'unité et la théorie des nombres. De cette façon, Gauss a sans doute amorcé le travail d'Évariste Galois et de la théorie algébrique des nombres.
Commençant au début du XIXe siècle, les développements suivants ont progressivement eu lieu :
« La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. » Gauss
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The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering
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ap.
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on Proclus's reliability
Texte anglais à traduire :
The date of the text has been narrowed down to 220-420 AD (Yan Dunjie) or 280-473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text).
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This was more so in number theory than in other areas (remark in Mahoney 1994, p. 284). Bachet's own proofs were « ludicrously clumsy »
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The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636
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All of the following citations from Fermat's Varia Opera are taken from Weil 1984, chap. II. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous Varia Opera Mathematica originally prepared by his son
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Euler was generous in giving credit to others (Varadarajan 2006, p. 14), not always correctly.
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From the preface of
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the translation is taken from
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See the discussion in section 5 of Goldstein et Schappacher 2007. Early signs of self-consciousness are present already in letters by Fermat: thus his remarks on what number theory is, and how "Diophantus's work does not really belong to " (quoted in
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See the proof in Davenport et Montgomery 2000, section 1.
Texte anglais à traduire :
See the comment on the importance of modularity in Iwaniec et Kowalski 2004, p. 1.