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En analyse, un problème aux limites est constitué d'une équation différentielle (ou plus généralement aux dérivées partielles) dont on recherche une solution prenant de plus des valeurs imposées en des limites du domaine de résolution. Contrairement au problème analogue dit de Cauchy, où une ou plusieurs conditions en un même endroit sont imposées (typiquement la valeur de la solution et de ses dérivées successives en un point), auquel le théorème de Cauchy-Lipschitz apporte une réponse générale, les problèmes aux limites sont souvent des problèmes difficiles, et dont la résolution peut à chaque fois conduire à des considérations différentes.
Dans le cadre des équations différentielles, une famille classique de problème aux limites est étudiée dans le cadre de la théorie de Sturm-Liouville.
Dans le cas des équations aux dérivées partielles, de nombreux problèmes entrent à la fois dans le cadre des problèmes de Cauchy du point de vue d'une variable, dans le cadre des problèmes aux limites par rapport à une autre variable. Par exemple :
La similarité des conditions aux limites de ces deux problèmes ne doit pas conduire à les assimiler, les équations aux dérivées partielles qui les gouvernent se rangeant dans deux catégories bien distinctes : l'une est une équation hyperbolique, l'autre une équation parabolique.
Un premier exemple de problème aux limites est l'équation différentielle du second ordre
pour laquelle on ne dispose pas de conditions initiales mais des valeurs aux bords de l'intervalle de définition :
La résolution de l'équation différentielle amène à chercher une solution de la forme
où A et B sont deux réels à déterminer. En appliquant les deux conditions aux bords, on a
On a ainsi A = 2, B =0. La solution est bien définie de façon unique et vaut :
Il existe plusieurs types de conditions aux limites permettant de bien poser un problème différentiel :