Dans le monde d'aujourd'hui, Algèbre de von Neumann est un sujet qui a retenu l'attention de nombreuses personnes dans différents domaines. De son impact sur la société à sa pertinence aujourd'hui, Algèbre de von Neumann est devenu un point d'intérêt pour beaucoup. Avec les progrès technologiques et les changements dans la dynamique sociale, Algèbre de von Neumann a évolué et s'est adapté aux exigences du monde moderne. Dans cet article, nous explorerons plus en détail Algèbre de von Neumann et sa signification dans le contexte actuel, ainsi que les différentes perspectives qui existent autour de ce sujet.
Une algèbre de von Neumann (nommée en l'honneur de John von Neumann) ou W*-algèbre est une *-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité (définition « concrète ») .
Les algèbres de von Neumann sont des C*-algèbres. De façon surprenante, le théorème du bicommutant de von Neumann montre qu'elles admettent une définition purement algébrique équivalente à la définition topologique. Une troisième caractérisation d'une algèbre de von Neumann est donnée par Sakai, faisant appel à la notion de prédual. Von Neumann et d'autres ont étudié les W*-algèbres en tant que structure mathématique associée au concept d'algèbre des observables de la mécanique quantique.
Voici deux exemples de base d'algèbres de von Neumann :
Le centre d'une algèbre de von Neumann A est égal à l'intersection de A avec son commutant A' :
Une algèbre de von Neumann est un facteur si son centre est réduit aux homothéties.
Voir la section correspondante de l'article anglophone (en).
Les algèbres de Von Neumann ont trouvé des applications dans divers domaines des mathématiques comme la théorie des nœuds, la physique statistique, la théorie quantique des champs, la théorie des probabilités libres, la géométrie non commutative ou la théorie des représentations.
Théorie de Tomita-Takesaki (en)