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En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si es una función continua entre dos espacios métricos y es compacto, entonces es uniformemente continua en .
La continuidad uniforme de una función se expresa como:
donde , son las funciones distancia en los espacios métricos y , respectivamente. Si ahora asumimos que es continua en el espacio métrico compacto pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de queda así:
Eligiendo , para todo positivo tenemos un par de puntos e en con las propiedades arriba descritas. Si elegimos para obtenemos dos sucesiones tales que
Como es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes ( a y a ). Se sigue que
Pero como es continua y e convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que no es uniformemente continua es absurda: entonces debe ser uniformemente continua en como afirma el teorema.