Función eta de Dedekind

La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo ${\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}}$ Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.

Definición

La función η suele definirse mediante el siguiente producto:

${\displaystyle \eta (\tau ):=e^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$.

donde ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$. De la definición se deduce inmediatamente que ${\displaystyle \eta }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {H} }$ no tiene ceros.

La función η está estrechamente relacionada con su discriminante ${\displaystyle \Delta }$, de la siguiente manera

${\displaystyle \Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$.

Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.

Transformación y comportamiento

Las propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular

${\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}}$,

es decir:

${\displaystyle \eta (\tau +1)\,=\,e^{\pi i/12}\eta (\tau )}$

y

${\displaystyle \eta \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\,\eta (\tau )}$.

Referencias

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Dedekind Eta Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.